Narodil sa pred 50 rokmi v Šebešťanovej. Z mužstva ZVL Považská Bystrica ho pre Nitru vytipoval Dodo Reiman. Za Plastiku Nitra hrával od roku 1976. Po vynikajúcich výkonoch v lige ho v roku 1981 nominovali najprv za Bmužstvo ČSSR proti NDR, v októbri potom za výber ligy k zápasu v Mniíchove a v novembri už reprezentoval ČSSR v Argentíne. Nosil titul najlepšieho športovca Nitrianskeho okresu, je tiež najlepším futbalistom Západoslovenského kraja.

V dnešnej dobe je to manžel a vynikajúci otec. Už 26 rokov je ženatý so svojou manželkou Evou a stále sú šťastní. Je otcom 3 detí: najstarsí je syn Peter, ktorý má 25 rokov a je uspešný hádzanár. Momentálne hráva v HSG Nordhorn čo je najvyššia nemecká liga. Kukučkovým druhým potomkom bola dcéra Lucia, ktorá má 24 rokov a svoju kariéru začína v Prahe kde aj býva. A posledným milačikom rodiny je 14-ročná Katka, ktorá tiež športuje a to, že hráva volejbal. Otec pevne verí že z nej niečo bude. Jozef Kukučka taktiež prezývaný aj ,,DODO" je momentálne zamestnaný na Slovenskej správe ciest v Považskej Bystrici. Ale futbalu nezanevrel a kazdý týžden hráva so starými pánmi ale aj s malými chlapcami.